Les mathématiques modernes laissent souvent à penser que les nombres ont une organisation et une raison d'être totalement abstraites. C'est en grande partie faux. Les ensembles les plus importants (N, Z, Q, ...) ont une raison d'être, auxquels il faut ajouter une myriade de groupes de nombres dont beaucoup sont issus de la théorie des nombres.

Historiquement les nombres servent avant tout de mesure (mesure des longueurs, mesure des quantités). Leur fonction est là pour assurer un partage des biens, terres, ... et tenir les comptes. Mais chez les babyloniens, cela va bien au-delà. On y trouve déjà des méthodes de résolution de problèmes. Mais c'est avec les grecs que la notion de groupe de nombres prend son élan avec les nombres irrationnels et les nombres rationnels. Pour les grecs seuls les nombres rationnels sont des nombres.

Bonne lecture :)

Ce sont les principaux groupes de nombres à partir desquels tous les autres groupes se définissent. Il existe une relation entre ces groupes. C'est la relation d'inclusion. Ainsi :

N c Z c Q c R

R est donc le groupe à partir duquel on peut définir tous les autres groupes. On pourrait penser dans ce cas qu'on définisse tout groupe de nombres à partir de celui-ci ? En fait il n'en est rien car les propriétés de R ne sont pas les mêmes que N, même si on peut les déduire. Par exemple N est un ensemble dénombrable ce que n'est pas R. Voyons à présent plus en détail chacun de ces ensembles.

N, l'ensemble des entiers
Cet ensemble regroupe les nombres entiers positifs allant de 0 à l'infini. C'est un ensemble qui fait l'objet de beaucoup d'attention par la théorie des nombres et nous verrons beaucoup d'ensembles de nombres appartenant à N.

Le rôle premier de N est de nous permettre de compter, d'énumérer. Par exemple, le nombre de vaches qu'a un paysan, ou encore de numéroter les places dans un Airbus A380.

Le 0 (zéro) a pour fonction de décrire ce qui est absent.

Z, l'ensemble des entiers relatifs
C'est l'ensemble de tous les nombres entiers positifs et négatifs. Z inclut évidemment le 0. Z est une extension de N pour inclure les nombres négatifs.

Z a pour fonction de décrire ce qui manque. Quand on soustrait une quantité à une autre on peut se retrouver avec un résultat négatif. Par exemple notre paysan babylonien sait qu'il a 10 vaches, mais en les recomptant il n'en compte que 9. Il lui en manque une. Cela s'exprime par le nombre -1 (10 - 1 = 9). Z sert aussi à décrire ce qui est avant et après. Si vous ne trouvez pas votre place numérotée dans un A800 et que vous demandez à l'hôtesse elle peut vous répondre que vous êtes 2 places en avant ou 2 places en arrière. Z permet de parcourir une numérotation dans les deux sens, alors que N ne le permet que dans un seul sens.

Q, l'ensemble des nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme un rapport de deux nombres entiers. Soit c un nombre rationnel alors il existe deux nombres a et b tel que c = a / b. Les nombres qui ne sont pas rationnels sont des irrationnels.

Q a pour objectif d'exprimer des parts ou des fractions. Si on souhaite partager un bien en part égale par exemple.

R, l'ensemble des réels
Ce sont des nombres permettant de mesurer des longueurs. Q permet aussi de mesurer des longueurs, mais certaines longueurs ne sont pas des nombres rationnels. Par exemple si on cherche la longueur de la diagonale d'un carré d'une unité de côté (un carré de 1 par 1) alors la solution est racine carrée de 2. Or ce nombre ne peut pas être exprimé sous la forme d'un rapport de deux nombres entiers. Il n'appartient pas à Q, ni à Z, ni à N.

N ne dispose pas d’un élément symétrique. Un symétrique dans un ensemble est un nombre tel que x + symétrique = élément neutre. L’élément neutre ici étant 0.

Z dispose bien d’un symétrique pour chacun de ses nombres, mais pas d’inverse sauf 1 et -1. Par exemple dans l’équation 7x = 5y, si l’on souhaite isoler y, on ne peut pas. Effectivement on est obligé de réaliser l’opération suivante 7x*1/5 = 5y*1/5 = y.

Q dispose d’un inverse et d’un symétrique. Q est aussi dénombrable comme N et Z. Un ensemble est dénombrable si on peut réaliser une bijection entre chacun de ses éléments et les éléments de N. Par contre Q ne permet pas de décrire toutes les longueurs. Si on prend un carré de coté 1 par 1 alors la diagonale vaut racine de 2. Or racine de deux n’est pas un élément de Q. C’est un nombre irrationnel c’est à dire qui ne peut s’exprimer comme le rapport de deux nombres entiers.

R se distingue de Q de 3 manières au moins. Une partie quelconque de R n’a pas de trous. Si comme dans Q, il existe une infinité d’éléments entre deux éléments, on a vu que Q ne contient pas tous les éléments. Prenons l’exemple d’une droite. Donnons un point de départ à cette droite que nous nommons 0. Traçons un trait sur cette droite. La longueur entre 0 et le trait peut toujours être caractérisé dans R mais pas dans Q. Exemple les irrationnels. Donc même s’il y a toujours une infinité de rationnels entre deux rationnels, Q ne décrit pas tous les nombres entre ces deux nombres alors que R le peut. R se distingue aussi par le fait qu’il n’est pas dénombrable. Mais ce qui caractérise plus fondamentalement R de Q est le théorème de la borne supérieure. Toute partie non vide et majorée (minorée) admet une borne supérieure (inférieure). Ce théorème est fondamental dans les problèmes de continuité et de convergence.

C a historiquement été utilisé pour permettre l’utilisation de racine négative lors de calculs intermédiaires dans des résolutions d’équations du 3ème et 4ème degré. Les résultats s’exprimant toujours par des réels. Puis avec le temps on a appris à construire C pour pouvoir exprimer directement des solutions par des nombres complexes. C est à l’origine d’un théorème fondamental de l’algèbre. Tout polynôme ayant ses coefficients dans C a au moins une racine dans C. Ce n’est pas le cas de R par exemple avec l’équation x² = -1

Les nombres algébriques sont les nombres qui sont solution d’une équation f(x) = 0 et f(x) un polynôme à coefficient entier ou rationnel. Ainsi avec x²-3 = 0 on a racine de trois comme solution. C’est donc un nombre algébrique.

Les nombres transcendants sont les nombres qui au contraire ne peuvent être racine d’un polynôme à coefficient entier ou rationnel. On peut citer les nombres Pi, e, log(2). Les premiers nombres transcendants connus furent les nombres de Liouville qui démontra en même temps leur existence. Il y a beaucoup plus de nombres transcendants que de nombres algébriques. On dit que les premiers ont la puissance du continu comme R et que les seconds sont dénombrables comme N.

Ce sont tous les nombres qui n'acceptent que deux diviseurs différents. 1 et le nombre lui-même. 1 est donc exclu des nombres premiers. Les nombres premiers sont très importants car ils apparaissent dans de nombreux problèmes liés à la théorie des nombres comme les problèmes de cryptographie. Mais même sans cela, les nombres premiers ont une propriété connue depuis plus de 2000 ans. Tout nombre entier peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombre premier. Ce fait est si remarquable, si important que c'en est devenu le théorème fondamental de l'arithmétique.

Par exemple :

15 = 3 * 5

36 = 2 * 2 * 3 * 3

Ce sont les nombres qui sont solution de l'équation c² = a² + b². Où a,b et c sont les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. En particulier c est la longueur de la diagonale reliant les côtés A et B de longueur a et b.

Le triplet le plus connu est : (3,4,5) tel que 3² + 4² = 5². Il en existe une infinité 'autres tel que (6,8,10), (9,12,15).

Quel est l'intérêt pratique de ces triplets ? Ils peuvent, dans les métiers du bâtiment, servir à tracer et creuser une figure ayant un angle droit (carré, rectangle, ...). Prenons l'exemple d'une piscine rectangulaire qui doit être enterrée. Pour être sûr qu'on obtienne des angles droits, on prend une ficelle de 3 mètres de long, une autre de 4 mètres et une dernière de 5 mètres. Une fois reliées entre elles et tendues, on est sûr que l'angle que forment la ficelle de 3 mètres et celle de 4 mètres est un angle droit.

Le mathématicien affirma au 17ème sècle que pour l'équation 2^p - 1, seuls les nombres pour p = 2,3,5,13,17,19,31,67,127,257 sont premiers. Les autres nombres pour p < 257 sont composés (non premier). La conjecture de Mersenne (conjecture = affirmation qu'on suppose vraie mais dont on n'a pas encore trouvé la démonstration) ne concerne que les valeurs de p allant jusqu'à 257.

En fait on a depuis constaté quelques erreurs. Par exemple pour p = 76 et 257 l'équation 2^P - 1 ne produit pas un nombre premier. Par contre pour p = 61, 89 et 109, 2^p - 1,produit des nombres premiers.

Aujourd'hui on nomme nombre de Mersenne tout nombre de la forme 2^P - 1 en souvenir de ce mathématicien. Ces nombres sont importants d'une part parce qu'ils représentent d'excellents candidats pour la recherche des plus grands nombres premiers, mais aussi parce qu'il existe une relation entre les nombres de Mersenne et les nombres parfaits.

On ne sait pas s'il y a une infinité de nombres de Mersenne premiers.

Les nombres parfaits sont des nombres dont la somme de tous leurs diviseurs est égale à ce nombre. Par exemple 6. On a les diviseurs 1, 2 et 3 or 1 + 2 + 3 = 6. Prenons un autre exemple. Tous les nombres qui peuvent diviser 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14. Si on fait la somme de ces nombres on obtient 28.

6 et 28 sont les deux premiers nombres parfaits. La densité de nombres parfaits est assez faible, mais on suppose qu'ils sont infinis sans l'avoir encore démontré.

Il existe une relation entre les nombres de Mersenne et les nombres parfaits. Si 2^p - 1 est premier alors le nombre n = 2^p-1(2^p - 1) est parfait. De la même manière si n est un nombre parfait pair alors 2^p - 1 est premier. En fait on ne connaît aucun nombre parfait impair. De plus tous les nombres parfaits se terminent par 6 ou 28.

Les nombres de Fermat sont des nombres de la forme 2^2^p + 1. On nomme ces nombres de Fermat car Fermat avait conjecturé que tous les nombres de cette forme étaient premiers. Euler prouva en 1640 que ne n'était pas le cas. On sait aujourd'hui que tous les nombres entre p > 4 et p < 21 ne sont pas premiers.

Pour les quaternions, je vous invite à lire notre article spécifique sur ces nombres. Cet article est d'autant plus interessant qu'il montre une application pratique des quaternions dans le cadre des applications 3D.

Les nombres pairs peuvent s'exprimer par la forme a = 2*n. Les nombres impairs peuvent s'exprimer sous la forme a = 2n+1. A priori on pourrait croire que les nombres pairs et impairs partagent les mêmes propriétés mais ce n'est pas le cas. Par exemple pour les nombres pairs. L'addition de tout nombre pair donne un nombre pair. L'ensemble des nombres pairs est en relation avec lui-même pour l'addition. Par contre pour les nombres impairs ce n'est pas le cas. Ainsi 3 + 3 donne un nombre pair qui n'appartient évidemment pas à l'ensemble des nombres impairs. Pour que l'addition de nombres impairs donne un nombre impair, il faut un nombre impair de nombres impairs à additionner. Par exemple, si on additionne 3 nombres impairs on trouvera toujours un nombre impair.

Si on additionne les entiers, on construit un ensemble de nombres qui a une relation bien particulière. Comment construire cet ensemble ? On commence par additionner 1 à lui-même, puis 1 + 2 = 3, puis 1 + 2 + 3 = 6, puis 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Les premiers nombres de cet ensemble sont donc 1, 3, 6, 10.

Maintenant si on veut savoir quel est le 100ème nombre de cet ensemble, on ne va pas additionner les 100 premiers nombres entiers. On utilise une formule qui établit une relation entre ces nombres.

n(n+1) / 2

On peut retrouver géométriquement cette formule. Il suffit de prendre un triangle composé par exemple de boules. Pour faire la somme des boules, on peut constater que si on additionne la première rangée et la dernière, on trouve le même nombre que si on additionne la deuxième rangée et l'avant dernière. En couplant deux par deux les rangées on se retrouve avec n / 2 rangée. Il suffit de multiplier les n/2 rangées par la somme des boules de la première rangée et la dernière ce qui s'exprime par n + 1. On obtient finalement :

n/2 * (n+1) = n(n+1)/2

De la même manière qu'on construit un ensemble avec la somme des entiers, on peut construire un ensemble en faisant la somme des carrés. 1² = 1, 1² + 2² = 5, 1² + 2² + 3² = 14, ...

La formule qui permet d'établir cet ensemble est

n(n+1)(2n+1) / 6

Il n'existe pas de moyen géométrique pour trouver cette formule. Toutefois il existe une relation intéressante entre les carrés et les nombres impairs. Le carré d'un nombre n est égal à la somme des n premiers nombres impairs.

Par exemple

2² = 1 + 3

3² = 1 + 3 + 5

4² = 1 + 3 + 5 + 7