Ce texte a pour origine une journée récréative avec des enfants à qui on a enseigné le principe d'Archimède. Ainsi certains aspects mathématiques et physiques ont été gommés pour éviter d'alourdir les explications. Evidemment pour les lecteurs d'Onversity, entrer dans les détails, c'est un minimum ;). Vous trouverez donc un chapitre complément qui complète le texte original. J'aurais pu l'insérer directement dans le texte, mais j'ai décidé de garder finalement cette approche d'un chapitre complémentaire.

Bonne lecture :)

Archimède est un savant grec qui vécut à Syracuse (Sicile) de 287 avant JC à 212 avant JC. Il est particulièrement connu pour ses travaux en mathématique (méthode de calcul de la circonférence d'un cercle et donc du nombre PI) et en physique (vis sans fin, poulie, levier, ...), dont le fameux principe d'Archimède. En fait Archimède est le père de la science physique nommée hydrostatique grâce à ce principe.

L'histoire raconte que le roi Hiéron II de Sycaruse aurait demandé à Archimède de vérifier si une couronne d'or, qu'il s'était fait faire, était totalement en or ou si l'artisan n'y aurait pas mis de l'argent. Il fallait évidemment le déterminer sans abîmer la couronne.

Archimède aurait trouvé le moyen de vérifier si la couronne était vraiment en or, alors qu'il était au bain public, en observant comment des objets y flottaient. Il serait alors sorti dans la rue en criant 'Eureka', ce qui signifie 'j'ai trouvé'.

Quelle relation y a-t-il entre la couronne du roi Hiéron II et le bain d'Archimède ? C'est le principe d'Archimède qu'il nous faut à présent énoncer.

Commençons d'abord par énoncer ce principe

"Tout corp plongé dans un fluide subit de la part du fluide une force verticale dirigée de bas en haut. Cette force est égale au poids du volume du fluide déplacé"

La force dont il est question ici se nomme aussi la poussée d'Archimède. Il faut remarquer qu'on parle de fluide et non seulement de liquide. Effectivement le principe d'Archimède est valable non seulement pour les liquides comme l'eau, mais aussi pour les gaz comme l'air.

La formule donnant la valeur de la poussée d'Archimède est :

B = p*g*V

* p = masse volumique du fluide* g = accélération de la pesanteur* V = Volume du fluide que l'objet déplace

Prouvons que B est bien une force :

Selon la deuxième loi de Newton une force est F = ma, où 'm' est une masse et 'a' l'accélération. Pour vérifier que B est bien une force il faut analyser les dimensions.

m*a à la dimension d'une masse (kg) et d'une accélération (m/s²). La force F a donc la dimension kg*m/s².

Déterminons à présent les dimensions de B. p a les dimensions d'une masse par un volume kg/V. V a les dimensions d'un volume soit V. g, l'accélération de la pesanteur a les dimensions d'une accélération soit m/s². B a donc la dimension :

kg/V*m/s²*V

On simplifie par V soit après simplification

kg*m/s²

B a les mêmes dimensions qu'une force, on en déduit qu'il s'agit bien d'une force.

Si je prends dans la main un tube vide de vitamine C et que je le lâche, il tombe par terre. Par contre si je prends ce même tube et que je le lâche au-dessus d'un récipient d'eau il flotte. Même si je tente de l'enfoncer jusqu'au fond du récipient il remonte et se met à flotter. Pourquoi ?

La raison s'explique par le principe d'Archimède, la différence qu'il y a entre l'air et l'eau, et par la gravitation.

Pour comprendre pourquoi le tube de vitamine C tombe dans l'air et flotte dans l'eau il faut comprendre que deux forces s'opposent et c'est celle qui est la plus forte qui l'emporte. La première force est celle de la gravitation, c'est-à-dire que tout objet est naturellement attiré par la Terre. Le sens de cette force est donc de haut en bas. La deuxième force est la poussée d'Archimède.

Pour bien comprendre cette opposition entre ces deux forces opposées, il suffit de penser au jeu de la corde. On a deux équipes qui tiennent chacune un bout de corde et c'est l'équipe qui a la plus grande force, donc qui tire le plus fort, qui l'emporte.

Commençons par la première expérience, le tube tombe par terre. Il faut d'abord calculer la force de gravitation qui s'exerce sur le tube, qu'on appellera F1. Ensuite calculer la poussée d'Archimède de l'air sur le tube, qu'on appellera F2. Enfin soustraire la première à la deuxième pour savoir qui gagne.

- La force d'attraction vaut F1 = m * g

- La poussée d'Archimède dans l'air vaut F2 = p * g * V

Voici les différentes valeurs pour calculer F1 et F2 :
* m = masse du tube vide de vitamine C = 10 grammes
* g = accélération de la pesanteur = 9,81 m/s²
* p = masse volumique de l'air vaut 1290 grammes / mètre cube
* p = masse volumique de l'eau vaut 1000000 grammes / mètre cube
* V = volume du tube de vitamine C = 0,0002 mètre cube

Calculons à présent F1 et F2

F1 = 10 * 9,81 = 98,1

F2 = 1290 * 9,81 * 0,0002 = 2,53

F1 est plus important que F2, donc la force de gravitation l'emporte sur la poussée d'Archimède. Ceci explique pourquoi l'objet tombe.

Maintenant pourquoi le même objet ne tombe-t-il pas au fond du récipient d'eau ? La force de gravitation est la même donc pas la peine de la recalculer, par contre la masse volumique de l'eau n'est pas la même que celle de l'air. Il nous faut recalculer F2 :

F1 = 98,1

F2 = 1000000 * 9,81 * 0,0002 = 1962

On voit ici que la poussée d'Archimède est plus importante que la force de la pesanteur ce qui explique pourquoi l'objet flotte.

On peut citer deux applications importantes du principe d'Archimède. La première est celle des sous-marins. Grâce à l'utilisation de ballasts, un sous-marin augmente ou diminue son volume. Si son volume diminue, il descend dans l'eau s'il augmente, il remonte à la surface.

La deuxième application est celle des dirigeables. Les dirigeables sont des moyen de déplacement plus légers que l'air grâce à l'utilisation de gaz plus léger que l'air (hélium, hydrogène). Le premier ballon a été fait avec de l'air chaud qui est plus léger que l'air qui nous entoure qui est à une température ambiante.

Ce que constate Archimède au bain public est que, pour un même volume donné les corps n'ont pas le même poids, c'est-à-dire une masse par volume différente. On parle de nos jours de masse volumique. L'argent étant plus léger que l'or, il a donc une masse volumique plus faible. De là Archimède en déduit que si l'artisan a caché de l'argent dans la couronne du roi pour que ça lui coûte moins cher tout en la vendant au prix de l'or pur, alors elle a une masse volumique plus faible.

Il suffit donc de peser la couronne qu'a fabriqué l'artisan à une couronne identique mais dont serait qu'elle est en or. Mais voilà on ne va pas refaire une couronne. Par contre on peut comparer à un volume d'or égal (des pièces par exemple). Le problème est comment déterminer le volume d'or correspondant au volume de la couronne de l'artisan ?

La méthode est la suivante (du moins peut-on supposer qu'Archimède a utilisé une méthode équivalente). On plonge la couronne du Roi Hiéron II dans un récipient plein d'eau. On note le volume d'eau déplacé. On retire la couronne. On place des pièces d'or dans le même récipient d'eau, jusqu'à avoir un volume d'eau déplacé équivalent à celui de la couronne. Une fois ceci trouvé, on obtient le volume d'or précis de la couronne. Il suffit ensuite de peser sur une balance le volume d'or trouvé et la couronne.

Pour l'anecdote, la couronne contenait de l'argent et l'artisan a été châtié.

La dimension d'une force :
La force définie par F = ma a les dimensions en kg * m / s². Cela correspond en fait à des newtons (symbole N).

Différencier masse et poids
La masse est une valeur intrinsèque à tout objet. Par contre le poids varie en fonction de la force de gravité. Cela signifie que si vous prenez votre balance et que vous alliez vous peser sur Mars, vous auriez un poids moindre car la force de gravitation est moindre. En conséquence le poids mesure en fait la force qui vous attire au sol. C'est une force. Ce n'est que par abus de langage qu'on affecte le mot poids à ce qui est la masse en fait.

Le signe de la poussé d'Archimède
Pour déterminer quelle est la force la plus importante entre la force de gravitation et la poussée d'Archimède, on a soustrait la première à la deuxième. Ce signe moins a une raison d'être que nous allons expliquer à présent.

Pour connaître la force résultant d'un ensemble de forces qui s'appliquent à un même objet, on fait la somme des forces. Ce qui détermine le signe c'est le sens des forces c'est-à-dire leur représentation vectorielle. De plus par convention, la force de gravitation a un valeur toujours positive. La poussé d'Archimède s'opposant à la force de gravitation, on a donc une valeur négative. On a donc les vecteurs F + B, mais quand on calcule les valeurs on a F + (-B) soit F - B.

Concernant les ballasts des sous-marins
L'idée générale c'est que quand on remplit les ballasts d'eau, la masse volumique totale du sous-marin devient plus importante que l'eau et donc il descend dans l'eau. Pour remonter il suffit de chasser l'eau pour y mettre de l'air. En fait on ne le chasse pas. Si on le faisait au bout de plusieurs montées et descentes sans revenir à la surface, il n'y aurait plus assez d'air dans le sous-marin. L'air est tout simplement comprimée dans les ballasts.

Lorsqu'un objet ne coule pas dans un liquide, il y a quand même une partie de cet objet qui est plongé dans le liquide (On peut étendre ça à tout fluide évidement). La question qui se pose alors est quelle part ou proportion de l'objet est immergé et pourquoi ?

Lorsqu'un objet n'est pas totalement immergé cela signifie que sa masse volumique est inférieure à celle du liquide. Cela signifie aussi que la force de gravitation qui s'exerce sur l'objet est inférieure à la poussée d'Archimède. Mais qu'en est-il de la partie immergé ?

La partie immergé se voit appliquer une poussée d'Archimède égale au poids de l'objet tout entier. Plus la masse volumique de l'objet est importante, plus l'objet sera immergé. On a donc l'équation d'équilibre suivante :

p0 * g * Vs = p * g * V

* g est l'accélération de la pesanteur
* p0 est la masse volumique de l'eau
* p est la masse volumique de l'objet
* Vs est le volume de l'objet immergé
* V est le volume total de l'objet.

De cette équation d'équilibre on tire une autre équation. Si on simplifie par g et qu'on regroupe les termes de même nature de part et d'autre de l'égalité, on obtient :

Vs / V = p / p0

Cette équation nous montre que le rapport des masses volumiques est égale à la fraction du volume immergé.

Prenons à présent le cas des icebergs. On dit généralement que seulement 10% de leur volume est visible. Vérifions si cette affirmation est vraie. La masse volumique de la glace est 920 kg/m³ et celle de l'eau de mer 1025 kg/m³. Calculez le pourcentage d'immersion d'un iceberg.