Voyager dans l'espace, un vieux rêve qui devient tout doucement réalité. Il reste encore un long chemin à faire pour que l'homme puisse accéder plus ou moins facilement à toutes les planètes du système solaire. En attendant ce sont les sondes spatiales qui ont en charge de nous rapporter des informations de toutes sortes de notre système solaire. Leur voyage dure parfois plusieurs années. Pour réduire cette durée, on améliore les propulseurs, mais c'est encore insuffisant et on a recours à d'autres techniques pour permettre aux sondes d'acquérir des vitesses élevées. L'une de ces techniques est la fronde gravitationnelle (en anglais : gravity assist ou slingshot effect). C'est cette technique que nous allons voir aujourd'hui.

Bonne lecture :).

Toutes les planètes de notre système solaire tournent autour du Soleil. Elles ont donc une vitesse de déplacement. En même temps comme tout corps massif elles engendrent un champ de gravitation important. L'effet de la fronde gravitationnelle consiste à exploiter simultanément ces deux propriétés physiques.

En pratique on met la sonde sur une trajectoire d'interception qui va la faire passer à l'arrière de la planète et suffisamment proche pour que l'attraction fasse son effet. Pendant que la sonde acquiert de la vitesse en s'approchant de la planète, cette dernière avance, ce qui a pour résultat de prolonger le temps où la sonde est en approche de la planète. L'attraction s'exerce donc plus longtemps.

Les équations permettant de comprendre l'effet de fronde gravitationnelle se basent sur le même principe que les collisions élastiques. Il nous faut donc préciser ce qu'est un choc élastique et inélastique.

Choc élastique
Lors d'un choc élastique, les deux objets rebondissent l'un sur l'autre. L'énergie mécanique est conservée. Par exemple le rebond d'une balle de tennis sur le sol.

Choc inélastique
Lors d'un choc inélastique il n'y a pas de rebond. L'énergie mécanique n'est pas conservée. Une grande quantité de cette énergie est transformée en chaleur ou en déformation des objets en collision. Par exemple le choc d'une boule de mastic avec un mur.

On peut se demander légitimement quelle relation il y a entre un effet gravitationnel et un choc. En fait la notion de choc ici est à prendre au sens large. C'est a dire une interaction. Cette interaction peut donc se faire aussi à distance. C'est la raison pour laquelle on peut assimiler l'interaction gravitationnelle à un choc élastique.

Une bille A de masse énorme en mouvement à une vitesse v entre en collision avec une bille B de faible masse et immobile. Quelle est la vitesse de la bille B après collision ?

- Supérieur à v

- Inférieure à v

- Egale à v

La bonne réponse est supérieure à ‘v'. Cela parait surprenant mais comme nous allons le voir les équations nous montrent que c'est tout à fait possible. Maintenant possible ne veut pas dire la réalité. Les équations que nous allons voir posent l'hypothèse que nous avons affaire à un choc élastique à 100%. Dans la réalité il n'y a pas de choc 100% élastique. Il y a toujours une petite perte ou transfert d'énergie. Ensuite il faut une différence de masse importante entre les deux objets. Ce qui est assez rarement le cas. Pour toutes ces raisons, ce que nous montrent les équations nous parait paradoxal car dans la réalité, ces situations n'arrivent pas ou pas assez pour être vraiment perceptible.

Hypothèses : Les équations qui suivent ne sont valides que si le choc est totalement élastique. On suppose aussi que les trajectoires avant et après le choc restent sur une même droite. Il n'y a donc qu'une composante x pour les coordonnées.

Enoncé : Soit une particule lourde de masse M et de vitesse = V différent de 0, entre en collision avec une particule légère de masse m et de vitesse v = 0. Calculons la vitesse de la particule légère après le choc.

Avant le choc la quantité de mouvement Q1 vaut

Q1 = MV1 + mv1, or v1 = 0 d'où Q1 = MV1

Après le choc la quantité de mouvement Q2 vaut

Q2 = MV2 + mv2

Par définition des chocs élastiques il y a conservation de la quantité de mouvement. Soit Q1 = Q2. Donc

MV1 = MV2 + mv2

En isolant V1 (on en aura besoin plus tard) on obtient :

Lors d'un choc élastique parfait il y a aussi conservation de l'énergie cinétique

Remplaçons V1² de l'équation de la conservation de l'énergie cinétique par la valeur de V1 de la conservation de la quantité de mouvement de l'équation de mouvement. On a d'abord le calcul du carré

Or comme la masse m de la particule légère étant très inférieure à la particule lourde M, la partie suivante tend vers zéro.

et peut être considérée comme négligeable. On obtient donc

Après simplification

Après de nouvelles simplifications par m et v2 on a finalement

La vitesse de la particule est donc de 2 fois celle de la particule lourde après le choc. Cette propriété est utilisée dans certains jeux de voitures. Lorsqu'un véhicule entre en collision avec un objet léger (cône de signalisation par exemple) ce cône est envoyé en avant de la voiture à une vitesse supérieure à la voiture (exemple : Need for Speed 5).

Bien que ça ne soit pas strictement nécessaire, voir comment la situation se présente du côté des référentiels nous permet de récolter quelques informations générales supplémentaires pour bien comprendre le phénomène de fronde gravitationnelle.

Le premier schéma montre le référentiel local de la planète, le second le référentiel de Copernic. Tout cela nous oblige à préciser quelques termes :

Un référentiel est composé d'un système d'axe ayant pour centre un observateur. On muni aussi le référentiel d'une mesure du temps. Donc un référentiel dispose d'un système de coordonnées spatiales et temporelles. Le référentiel de Copernic a par définition son origine au barycentre de notre système solaire. Ses 3 axes sont pointés par 3 étoiles lointaines. Par approximation, on considère généralement que le Soleil représente ce centre. Par définition aussi on peut définir une infinité de référentiels galiléens dans le référentiel de Copernic.

Un référentiel galiléen est par définition un référentiel dont les points qu'il décrit sont en mouvement de translation uniforme. Translation signifie en ligne droite (pas de rotation) et uniforme signifie sans accélération (accélération nulle).

La question se pose alors de savoir si on peut considérer le référentiel de Copernic comme galiléen ? De même les planètes peuvent-elles être considérées comme des référentiels galiléens ? En théorie non. En pratique oui à cause des approximations qu'on peut faire sans trahir le résultat final. Ce oui est d'autant plus vrai dans cet article, que son but est de vous donner une idée du fonctionnement d'un principe physique, non les équations qui vous permettrons d'utiliser l'effet de fronde gravitationnelle pour votre propre usage.

Bien que ça ne soit pas strictement nécessaire, voir comment la situation se présente du côté des référentiels nous permet de récolter quelques informations générales supplémentaires pour bien comprendre le phénomène de fronde gravitationnelle.

Le premier schéma montre le référentiel local de la planète, le second le référentiel de Copernic. Tout cela nous oblige à préciser quelques termes :

Un référentiel est composé d'un système d'axe ayant pour centre un observateur. On muni aussi le référentiel d'une mesure du temps. Donc un référentiel dispose d'un système de coordonnées spatiales et temporelles. Le référentiel de Copernic a par définition son origine au barycentre de notre système solaire. Ses 3 axes sont pointés par 3 étoiles lointaines. Par approximation, on considère généralement que le Soleil représente ce centre. Par définition aussi on peut définir une infinité de référentiels galiléens dans le référentiel de Copernic.

Un référentiel galiléen est par définition un référentiel dont les points qu'il décrit sont en mouvement de translation uniforme. Translation signifie en ligne droite (pas de rotation) et uniforme signifie sans accélération (accélération nulle).

La question se pose alors de savoir si on peut considérer le référentiel de Copernic comme galiléen ? De même les planètes peuvent-elles être considérées comme des référentiels galiléens ? En théorie non. En pratique oui à cause des approximations qu'on peut faire sans trahir le résultat final. Ce oui est d'autant plus vrai dans cet article, que son but est de vous donner une idée du fonctionnement d'un principe physique, non les équations qui vous permettrons d'utiliser l'effet de fronde gravitationnelle pour votre propre usage.

1) les lois de la physique ne changent pas quand on passe d'un référentiel à un autre 2) Il faut s'imaginer être au centre du référentiel pour mieux appréhender la parfois relative complexité des changements de référentiels.

Dans le premier graphique, le centre du référentiel considéré comme point fixe est la planète autour de laquelle va tourner le satellite pour acquérir de la vitesse. A priori on a une symétrie puisque la sonde en s'approchant de la planète a une vitesse U+V et en s'en éloignant U+V aussi. Mais c'est trompeur. Si la sonde conservait la même vitesse, elle devrait avoir une vitesse d'éloignement de U-V. Pour avoir U+V il faut que la sonde ait gagné 2*V en vitesse. Et dans le cas que présente le schéma c'est effectivement le cas.

Sur le second graphique le gain de vitesse est plus visible, mais il s'agit bien de la même situation physique. La vitesse de la sonde évolue de la même manière. Seule change la position de l'observateur. Vue à partir du Soleil, la sonde s'approche de la planète à la vitesse U et s'en éloigne à la vitesse U+2V. Vue du Soleil la planète a une vitesse V.

Si cette histoire de référentiel vous déroute un peu, pensez à la situation suivante. Deux voitures A et B roulent à une vitesse V sur une route en s'approchant l'une de l'autre. Dans un pré non loin de la route, une vache les regarde. Si l'on est dans la voiture A, la voiture B arrive à une vitesse V + V = 2V et la vache à une vitesse V. Vues de la vache, les voitures A et B ont une vitesse V, mais s'approchent l'une de l'autre à une vitesse 2V. Donc qu'on soit dans la voiture A ou auprès de la vache les voitures A et B s'approchent à la même vitesse. Les lois physiques sont conservées.

Jusqu'à présent nous n'avons vu que la situation où la sonde arrive sur la planète en ayant la même direction et un sens opposé. Mathématiquement dit nous nous sommes limités à une dimension. Mais dans la pratique, la sonde a un angle d'approche ce qui nous plonge au moins dans le cas d'un déplacement en deux dimensions. Nous allons voir comment mettre cela en équation.

Lorsqu'un objet a une vitesse dans un plan donc en deux dimensions, on peut décomposer sa vitesse en deux vitesses. Celle suivant l'axe X l'autre suivant l'axe Y. Vectoriellement on a

V = Vx + Vy

Les valeurs numériques des vecteurs Vx et Vy, que l'on obtient en projetant le vecteur V sur les axes qui composent le repère.

Vx = - V * cos(a)Vy = V * sin(a)

a étant l'angle entre l'axe des X et la trajectoire de la sonde. Vx est négatif à cause de l'orientation de l'axe X. Mais ce n'est pas la peine de s'attarder sur ce signe. Ce qui est important ce sont les valeurs numériques des vitesses quand la sonde quitte la planète. Elles sont toutes positives. Il n'y aura donc dans la suite de l'article pas de discussion sur le signe de certaines valeurs.

La vitesse finale selon les deux composantes est

Vfx = V*cos(a) + 2U

Vfy = V*sin(a)

Le gain de 2U en vitesse est affecté uniquement à la composant X de la vitesse de la sonde car le déplacement de la planète se fait uniquement selon l'axe X. Il s'agit toujours ici de notre hypothèse simplifiée de la fronde gravitationnelle.

Il nous faut à présent déterminer la valeur numérique du vecteur vitesse à partir de ses composantes. On a vu précédemment que l'opération inverse utilise la projection sur les axes. Ici nous allons utiliser le théorème de Pythagore. On a la formule générale

En détaillant on obtient

en décomposant on a :

Or on a le relation :

sin(a)² + cos(a)² = 1

On peut écrire que

sin(a)² = 1 - cos(a)²

Remplaçons sin(a)²

avec

qui se simplifie par

Un des documents fourni en lien va plus loin en écrivant

soit

et

L'intérêt de cette formulation est de mettre en valeur le terme V+2U et de l'affecter d'un coefficient qui varie en fonction de l'angle d'approche de la sonde.

L'équation se simplifie grandement si on a U = V

avec

Finalement

On a deux cas particuliers où la sonde et la planète ont même direction :

Si a = 0 alors Vf = 3V (même direction mais de sens opposé)

Si a = Pi alors Vf = V (même direction et même sens)

La fronde gravitationnelle est une technique élégante pour permettre à des sondes d'acquérir de la vitesse. Elle n'a encore jamais été utilisée pour des vaisseaux habités. Le sera-t-elle un jour ? Cela reste une question ouverte à cause des problèmes d'accélération que subit un objet lors de l'effet de fronde gravitationnelle. Toutefois, toute élégante qu'elle soit, cette technique reste une technique d'appoint. Si l'on veut un jour accéder à des vitesses véritablement relativistes (vitesses où les effets de la relativité restreinte soient clairement sensibles) il faudra compter avant tout sur les propulseurs. Cela implique des accélérations importantes. Accélérations que peuvent facilement subir les sondes, mais moins les spationautes pour des raisons de physiologie. Les vitesses relativistes seront donc dans un premier temps l'apanage des sondes.

• Livre : Berkeley, cours de physique - mécanique Volume 1
  
  
• Gravitational Slingshot
  
  
• The gravitational slingshot
  
  
• Double ball drop
  
  
• The slingshot effect