Half-Life 2 ou HL² pour les intimes est jouable depuis mardi sur toute la planète. Quel rapport entre ce jeu et les équations différentielles ? Half-Life se traduit en français par demi-vie. La demi-vie (qu'on peut noter : T) correspond au temps qu'il faut pour que la moitié des noyaux atomiques d'un produit radioactif se transmute en d'autres noyaux. Le symbole 'Lambda' utilisé pour le jeu Half-Life est le même symbole physique que la constante de radioactivité. Demi-vie et constante de radioactivité sont toutes deux des propriétés des produits radioactifs reliées par la formule suivante : T = ln(2) / lambda.

Cette équation se détermine en partant d'une équation différentielle que nous étudierons en fin d'article.

Il ne s'agit pas ici de faire un cours sur les équations différentielles, mais de vous expliquer d'où elles proviennent, à quoi elles servent, à quoi elles ressemblent et comment on les résoud dans le principe. Je commencerais par une liste de petits énoncés qui vont nous permettre de voir à quoi ressemble une équation différentielle. Ensuite nous passerons à un exemple qui aura pour but de vous montrer comment construire ce type d'équation à partir de l'observation de la réalité. Nous terminerons enfin par l'équation différentielle permettant de calculer la durée de vie des produits radioactifs.

Bonne lecture :).

Quelques énnoncés pour comprendre ce qu'est une équation différentielle.

1 - Une équation différentielle est une équation qui fait intervenir des dérivées. Par exemple : dy / dx = 2x. C'est vrai, mais ça ne nous éclaire pas vraiment sur leur origine et leur rôle.

2 - C'est une équation où l'inconnu est une fonction (y = f(x)). Ca c'est plus intéressant. Effectivement, dans l'exemple du premier énoncé, on recherche en fait une fonction dont la dérivée répond à l'équation dy / dx = 2x. Dans le cas présent, la solution est y = x²+C nous verrons plus tard pourquoi et à quoi correspond le 'C'.

3 - Elle décrit un évènement qui se déroule dans le temps. Ce n'est pas obligatoire pour avoir une équation différentielle, mais la majorité de celles que vous serez amenés à étudier décrivent un évènement dans le temps.

En résumé, une équation différentielle, c'est rechercher une fonction dont on connait au moins une dérivée. Cette fonction a généralement comme variable principale le temps. Ces équations sont très utiles pour décrire les mouvements des objets, etc ...

Gordon Freeman, héros de Half-Life, est sur une plage en train de regarder un coucher de soleil, en attendant sa prochaine aventure. Un chien qui était au bord de la jetée le voit et court vers lui. Quelle sera la distance qui sépare Gordon du chien à chaque seconde ? La distance qui sépare le chien de Gordon varie de seconde en seconde, mais la quantité de cette variation est constante. Prenons un exemple chiffré. Admettons que la distance qui sépare le chien de Gordon soit de 100 mètres et que le chien ait une vitesse constante de 10 m/s. Après 1 seconde, la distance n'est plus que de 90 mètres, puis de 80 mètres, ... La quantité de cette variation est de 10 mètres toutes les secondes.

Ce qu'on cherche c'est donc l'équation d'une droite. Le cas étant assez simple, on pourrrait le résoudre sans poser une équation différentielle. Mais pour les besoins de l'explication faisons-le. On recherche en fait la fonction y = f(t) qui à chaque instant 't' nous donne la distance entre le chien et Gordon. La variation de cette distance à chaque instant 't' est la dérivée de la fonction y=f(t) soit dy/dt, ce qui correspond en fait à la vitesse. On connait cette vitesse, elle vaut 10 m/s. on pose donc dy/dt = 10.Nous avons trouvé l'équation différentielle, il nous faut à présent la résoudre

Remarque : Si Gordon faisait un jogging, le chien devrait alors en permanence modifier sa trajectoire. Dans cette situation la quantité de la variation de la distance séparant Gordon du chien varie elle-même et cette variation est une fonction, non plus une constante.

Une fois qu'on a trouvé l'équation différentielle d'un problème, il nous reste à trouver la fonction inconnue. Pour ce faire, on intègre la fonction différentielle. Donc résoudre une équation différentielle, c'est intégrer cette équation et déterminer toutes les fonctions 'y' vérifiant l'équation. Il n'y a donc pas nécessairement une seule et unique solution.

Dans l'exemple ci-dessus on a dy / dt = -10. Si on intègre on obtient y = 10x + C. L'intégration se fait toujours à une constante près, d'où la raison du 'C' qui représente cette constante. La constante peut être déterminée en fonction des conditions initiales. Dans le cas présent, la condition initiale qui nous manque c'est la distance qui sépare le chien de Gordon. Si cette distance est de 70 mètres alors la fonction y vaut 70 - 10t. Vérifions, au temps t=0, y = 70, a t=1, y = 60, a t=7 y=0. il faut donc 7 secondes pour que le chien rejoigne son maître.

Tout élément radioactif (naturel ou artificiel) subit une transmutation spontanée. La transmutation consiste en la transformation du noyau de l'élément radioactif en un autre noyau de nombre atomique (Z) différent (en plus ou en moins).

La fonction que nous cherchons est celle qui détermine le nombre de noyaux atomiques restant à un instant 't'. On note généralement cette fonction : N(t) (N pour noyau). On aura donc dN / dt = ... Pour trouver le second membre de l'équation différentielle, il nous faut un minimum d'informations. En premier il nous faut connaître le nombre de noyaux de départ qu'on notera N₀. Ensuite il nous faut connaître la proportion de noyaux qui se désintègrent. En fait cette information nous est donnée par les premiers scientifiques qui ont travaillé sur la radioactivité. La quantité de noyaux désintégrés sur une durée t2-t1 est proportionnelle à la quantité de noyaux qu'il y avait à l'intant t. Proportionnel signifie que le % de noyaux restant qui se désintègrent est constant, sur des intervalles de temps égaux. Cela signifie que contrairement à notre précédent exemple, le membre de droite de l'équation différentielle n'est pas une constante car la différence entre deux instants 't' varie. Mais comme on vient de le voir, on sait que la variation du nombre de noyaux (soit dN) est proportionnelle aux noyaux restants. Or c'est justement cette fonction que l'on cherche. Il suffit donc d'écrire dN / dt = -N avec pour notation N = N(t)). Il y a un signe moins car la valeur est décroissante.

Comment résoudre cette équation différentielle. En fait comme beaucoup d'équations, il n'y a pas de méthode générale. Dans le cas présent, on recherche une fonction (N(t)) qui est de même type que sa primitive à une constante près. C'est le cas des fonctions exponentielles où u'*e^u = e^u + C. Sans démonstration, la solution générale de notre équation différentielle est : c*e^-a*t. c vaut la quantité de noyaux à l'instant t=0 et 'a' est en fait une constante qui varie en fonction de l'élément radioactif. On l'écrit lambda et se nomme : constante de radioactivité. finalement : N(t) = N₀*e^-lambda*t

Il existe une relation simple entre la demi-vie d'un élément radioactif et sa constante de radioactivité. Par définition T est le temps qu'il faut pour que la moitié des noyaux d'un élément soit désintégrée. On a donc :

N₀ / 2 = N₀*e^-lambda*T

d'ou : e^-lambda*T = 1/2

qui peut s'écrire aussi lambda*T = ln(2).

Le but ici n'était pas de vous faire un cours sur les équations différentielles, mais de vous montrer comment on les construit. J'ai en fait pris un cas assez simple de famille différentielle, les équations différentielles linéaires homogènes de premier ordre qui sont de la forme ay' + by = 0 qu'on peut écrire y' = -a/b * y. De toute manière j'aurais l'occasion de revenir sur ce sujet car en préparant ce texte, je suis tombé sur une démonstration de ce type d'équation très intéressante. ça sera l'occasion de faire des maths un peu plus rigoureuses ;).