L'étymologie du mot trigonométrie provient de ‘trigone' et ‘métrie', ce qui setraduit par la mesure des triangles. Ce mot vient du latin et est apparu en France vers le 16ème siècle. D'un point de vue plus pratique, la trigonométrie permet d'établir différentes relations dans un triangle permettant, à partir de données parcellaires, d'en obtenir d'autres.

Dans une nouvelle de Sherlock Holmes : Le rituel de Musgrave, Holmes est confronté au problème de trouver la hauteur d'un vieil orme, c'est par la trigonométrie qu'il le trouve. Nul besoin de mesurer la hauteur de l'arbre lui-même.

Traçons un segment AB avec un certain angle. Puis traçons une première droite L horizontale et passant par A, ensuite une seconde droite L' verticale passant par B. L'intersection de L et L' se nomme C. ABC forme un triangle rectangle.

Le segment AC est la projection du segment AB sur la droite L. La définition du cosinus est exactement la relation qui lie la taille des segments AB et AC par projection. On a la formule :

cos(x) = AC / AB

Le sinus se définit de manière équivalente à ceci près que l'on projette le segment AB sur la droite L' pour former le segment BC. On a finalement la formule suivante :

sin(x) = AD / AB

AB est appelé l'hypoténuse. AC est nommé le côté adjacent et BC le côté opposé. Cosinus et sinus sont des fonctions qui établissent une relation entre les projections d'un segment AB.

Pour pouvoir étudier les fonctions cosinus et sinus, on utilise une figure particulière nommée le cercle trigonométrique. Cette figure consiste en un repère orthonormé et d'un cercle de rayon 1. Le centre O du repère est le centre O du cercle.

Si on prend un point A quelconque du cercle et qu'on le relie au centre O, on obtient un segment OA. On note x l'angle que fait OA avec l'abscisse (axe des X). Si on projette OA sur l'axe des abscisses, on retrouve le même résultat que ce qu'on avait fait avec notre triangle concernant le cosinus. Si on projette OA sur l'axe des ordonnées, on retrouve cette fois notre résultat sur le sinus.

En faisant parcourir tout le cercle à notre point A, on définit entièrement les fonctions cosinus(x) et sinus(x). Dans le chapitre précédent, nous avons vu que x était la mesure de l'angle entre AB et AC et que x s'exprimait en degré. Avec le cercle trigonométrique, on préfère utiliser l'arc de cercle entre OA et l'abscisse au lieu de l'angle. L'unité de mesure d'un arc de cercle est le radian. Elle va de 0 à 2*Pi.

Il existe une formule pour convertir les degrés en radians dans le cercle trigonométrique. Soit :

a / 360 = b / (2*Pi)

Si on connaît le radian b et qu'on cherche sa conversion en degré il suffit de faire :

a = 360 * b / (2 * Pi)

Si on connaît le degré a et qu'on cherche sa conversion en radian il suffit de faire :

b = a* 2 * Pi / 360

Remarque : En règle générale, on utilise le radian en mathématique supérieure. Quoiqu'au collège et au lycée beaucoup de professeurs utilisent le degré pour faciliter la tâche aux élèves. Effectivement, manipuler des radians nécessite un peu plus d'expérience.

A partir du cercle trigonométrique on peut définir une nouvelle fonction nommée tangente(x). Celle-ci est par définition le rapport entre

Tangente(x) = Sinus(x) / Cosinus(x)

Pour dessiner le segment de droite qui correspond à la tangente, il faut tracer une droite L" tangente au cercle trigonométrique au point M (voir figure). Ensuite il faut prolonger le segment OA jusqu'à rencontrer la droite L" au point T. Le segment MT est la mesure de la tangente.

Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont appelées des fonctions trigonométriques. On utilise des abréviations pour les utiliser.

Cosinus(x) = Cos(x)

Sinus(x) = Sin(x)

Tangente(x) = tan(x)

Il existe une autre définition de Sin(x).

Sin(x) = cos(Pi/2 - x)

Cos(0) = 1

Sin(0) = 0

Cos(Pi/2) = 0

Sin(Pi/2) = 1

Cos(Pi) = -1

Sin(Pi) = 0

Cos(3*Pi/2) = 0

Sin(3*Pi/2) = -1

Cos(Pi/4) = Sin(Pi/4)

Selon le théorème de Pythagore :

AC² = AB² + BC²