Möbius (ou Moebius) est un mathématicien allemand (1790-1868). Il fonda l'observatoire de Leipzig. Ses travaux se sont essentiellement orientés vers la géométrie descriptive et différentielle. Toutefois Möbius est souvent associé à un fameux ruban, curiosité remise au goût du jour par la topologie et la fonction de Möbius qui sert à exprimer la fonction de Legendre. Un cas particulier de cette dernière est la fonction indicatrice d'Euler qui sert dans le cryptage RSA. Ce qui est totalement d'actualité.

Bonne lecture :).

Avant de voir la fonction de Möbius, il faut voir ce qu'est un carré parfait. C'est un truc très simple mais une fois qu'on en donne la définition ça devient brusquement beaucoup plus obscur ;). Commençons par des exemples. 4 est un carré parfait parce que 2*2 = 4. 9 est un carré parfait parce que 3*3 = 9, 100 est un carré parfait parce que 10*10 = 100. 5 n'est pas un carré parfait parce que 5 ne peut être le résultat d'un carré d'un nombre entier. Un nombre est un carré parfait que s'il est la multiplication de deux nombres entiers.

La fonction de Möbius s'exprime de la manière suivante :

On a donc 3 valeurs possibles pour la fonction de Möbius. 0, -1, 1.

0 : Si n est divisible par un carré parfait autre que 1.

-1 et 1 : n est le produit de k nombre distinct et premier.

n > 0, et k >= 1

Il y a une relation entre les cas 0 et -1, 1. Si le produit est composé d'au moins deux facteurs non distincts alors il forme un carré parfait. Par exemple 12 = 2 * 2 * 3. Comme on a 2 * 2, les facteurs ne sont pas tous distincts. Autrement dit 2 * 2 forme un carré parfait et donc la fonction vaut 0.

Quelques exemples : (j'utilise la lettre u() pour la fonction)

u(1) = 1 par convention

u(2) = (-1)¹ = -1, car 2 est un nombre premier et le seul (donc impair)

u(3) = (-1)¹ = -1, car 3 est un nombre premier et le seul (donc impair)

u(4) = 0, car 4 = 2*2. 4 est donc un carré parfait.

u(6) = (-1)², car 6 = 2*3. Soit deux nombres premiers (donc pairs).

u(12) = 0, car 12 = 2*2*3. 2*2 = 4 qui est un carré parfait.

Voila une des première fonction de la théorie des nombres que nous verrons cette année. Elles ne sont finalement pas si difficiles que ça si on a le mode d'emploi. Elles sont en plus très 'fun'. Au programme la prochaine fonction sera celle de Legendre, le texte étant deja écrit vous pouvoir le lire dès la semaine prochaine. Elle est un peu plus difficile, mais elle est tellement belle ;).

Lien conseillé :

L'oeuvre de Möbius

Voici un exercice un peu complexe. Que vaut :

Pour vous aider, étudiez deux cas séparément. Celui de n = 3 et celui de n > 3.